인과추론의 데이터 과학 - 통제함수와 선택모형

참고영상 : Bootcamp 4-4.  통제함수와 선택모형  

 

 

▸ Control function: selection bias correction method , LATE, 2SLS 와 비슷하게 Instrumental variable 을 활용한다. 

▸ Heckman selection model : control function 의 special case 

 

 

 

1. Causal inference = How to address Endogeneity 

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◯  Causal inference

 

•  Selection model 과 Causal Graph 는 인과추론의 Researcg design 과 다른 관점을 취하고 있다. 

 

 

•  그러나 LATE 와 selection model 은 모두 IV 를 활용한다. 

 

 

 

◯  Second approach : Control function 

 

•  control function 과 selection model 은 도구변수를 요구하는 것은 똑같다. First stage 에서 도구변수가 하는 역할은 2SLS 와 동일하다. 도구변수를 통해 exogenous 한 부분과 endogenous 한 부분을 나눈다. 그러나, second stage 에 대한 접근이 다르다. LATE 는 exogenous 한 부분을 떼어서 분석하는 반면,

 

 

•  control function 은  endogenous 한 부분과 관련되어있는 error term 의 selection bias 를 예측하고,  selection bias 를 통계적으로 계산하여 직접 통제함으로써 인과추론을 하고자 하는 방법이다. counterfactual 에 대한 가정 등이 필요 없이 통계적으로 접근하는 방식이다. 

 

•  control function에서 selection bias 가 treatment group 혹은 sample 에 select 될 확률이라면 (predicted residual represents the probability of being selected) 그러한 특수한 경우를 selection model 이라 부른다. 

 

•  selection model 에서 probit modeling 을 하는 것이 Heckman selection model !

 

 

 

◯  Second approach : Control function , 수식으로 살펴보기 

 

 

[2]  First-stage equation : x = α0 + α1∙z + v 

↪  α0 + α1∙z : exogenous 한 부분

↪  v : endogenous 한 부분 (residual) 

↪  v 를 활용해서 u 를 예측한다. v 는 endogenous 한 부분이기 때문에, error term u 에서 endogenous 한 부분 (selection bias) 를 예측할 수 있다. 

 

 

[3] Predicting the endogenous portion of the error term : u = ρ∙v + e 

↪  ρ∙v : selection bias 

↪  e : 순수 error term 

↪  ρ : 이론적으로는 treatment 를 설명하는데 관찰되지 않는 v 와, outcome 을 설명하는데 관찰되지 않는 u의 correlation 

 

[4] 3번 결과를 1에 집어넣는다 : second-stage : y = β0 + β1∙x + ρ∙v + e 

↪  error term 에서 selection bias 부분을 따로 떼어서, selection bias 를 야기하는 v를 넣고 직접 selection bias 를 control 하자 

 

 

 

 

2. Two-stage Least Squares vs Control function 

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◯  비교 

 

 

•  Potential outcome framework 에 입각하여 도구변수를 활용해 인과효과를 분석하자 → 2SLS 

•  도구변수를 활용해 내생성을 직접 제어하기 위해 통계적으로 분석하자 → Control function 

 

 

◯  2SLS 의 장단점 

 

•  장점 : LATE 개념 하에서 potential outcome framework 에 통합될 수 있다. RCT, 준실험 등과 동일한 선상에서 IV 분석 결과를 해석할 수 있다. 

•  단점 : monotonicity assumption (도구변수에 의해서 한방향으로 treatment 가 assign 되어야 한다 = compliers)이 성립해야 하기 때문에, 구할 수 있는 것은 compliers 라는 특정 집단에서의 local 한 causal effect 이기 때문에 다른 집단에서 일반화 하는게 어렵다면 한계가 있을 수 있다. 또한, non-linear model 로 추정하기가 어렵다는 단점이 있다. 

 

 

◯  Control function 의 장단점 

 

•  장점 : 전체 treatment 를 다 사용하기 때문에, selection bias 를 잘 control 할 수 있다면, ATET 를 구할 수 있다. 또한 통계적으로 훨씬 더 유연하게 확장될 수 있다. 

•  단점 : 구한 causal effect 가 무엇을 의미하는지 직관적으로 해석하기가 어렵다. 통계적으로는 이해가 되지만, 그렇게 구한 것이 어떤 causal effect 인지 모호하다. 

 

 

 

 

 

3. Example 

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◯  Effects of previews/Reviews on E-book purchase 

 

 

•  control function: residual inclusion method (=selection bias correction model) 

 

 

 

◯  Effects of Advertising on Sales 

 

 

•  endogeneity 나 selection bias 가 있어서 그 요인이 confounder 로서 outcome 에만 영향을 줄 수 있지만 causal effect 자체에 영향을 주는 사례가 있을 수 있다. 즉, error term (v) 뿐만 아니라 추정할 계수 (ϒ) 자체에도 selection bias 가 섞여들어갈 수 있다. 따라서 이러한 것을 고려하기 위해, Extended model 을 보면 coefficient term 에도 error term 을 추가한 것을 볼 수 있다. (P 는 treatment variable) 

 

 

•  다양한 형태로 control 한다. 

 

 

 

 

 

 

4. Heckman selection model : special case of control function 

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•  selection 이 1 아니면 0이고 (probability residual), 그 bianry 를 probit 으로 모델링 한다면 binary probit model 에서의 residual v 를 실제로 계산해보면 Inverse Mills ratio (=누적분포함수/확률밀도함수 의 역수) 가 나온다. 

 

 

 

•  lambda : coefficient of Inverse Mills ratio : -0.14 (음수) : first stage 에서 다각화에 영향을 주는 관측되지 않은 요인과 outcome 인 firm value 에 영향을 주는 관측되지 않은 요인이 음의 상관관계에 있다. 즉, 다각화를 하는 경향이 높은 기업들은 firm value 가 낮은 기업들이 많다.