인과추론의 데이터 과학 - 회귀불연속

참고영상 : Bootcamp 4-3.  회귀 불연속 

 

 

 

 

1. RD

---

 

◯  Regression Discontinuity 

 

•  Discontinuous 가 발생하면 그것을 기점으로 인과추론을 진행하는 방법 

•  Running variable = assignment variable = Forcing variable : Discontinuity 가 발생하는 변수 

 

 

•  RD 에서의 counterfactual : running variable 이 없었을 때를 가정한 추이 (점선)

•  counterfactual (점선)과 treatment 를 받아서 나온 (실선) 차이가 causal effect 이다. 

 

 

 

◯  Example of discontinuity 

 

•  음주와 건강/사망 사이의 인과효과 

 

 

•  미국에서는 법적으로 21세를 기준으로 음주를 허용한다. 21세 직전의 사람들, 21세 직후의 사람들의 특성은 비슷할 것이다. 그러나 21세를 기점으로 운전사고 사망률이 jump 를 보이고 있다. 따라서 음주가 운전사고의 사망률에 인과적인 효과가 있다고 볼 수 있을 것이다. 

 

 

 

◯  RD Estimation strategies 

 

 

•  Discontinuity 가 없을 때의 running variable 에서의 추세를 가지고, discontinuity 가 있을 때로 extrapolate 를 해서 counterfactual 을 구한다. 구하는 방법은 여러가지이다. 

 

•  Bandwidth : Discontinuity 주변으로 어느 범위까지 고려하느냐 

↪  전체 구간(global) 을 모두 활용할 수도 있고, 특정 구간 (local) 만을 볼 수도 있다. 이전의 음주 관련 인과추론 예시 그래프의 경우에는 19세부터 23세까지의 특정 구간만을 고려하고 있다. 

 

•  Modeling of running variable: running variable 을 어떻게 모델링 할 것인가 

↪  Parametric : functional form 을 가정 (regression 을 통한 모델링) 

↪  Non-parametric : 가령 기준 treatment 이전과 이후의 평균값을 통해 인과추론을 하는 경우 

 

•  bandwidth ⇨ cut-off 주변의 범위를 줄여서 분석하면 유리할 것이다. discontinuity 를 기준으로 treatment 와 control 이 나뉘는데, 범위를 줄일수록 discontinuity cut off 를 중심으로 특성이 비슷해질 것이다. 범위를 늘릴수록 특성이 비슷해지지 않을 수 있다. 가령 이전의 음주 관련 인과추론 예시 그래프에서 고졸~대학생 사이 (ex. MZ 세대) 의 사람들의 특성은 비슷하다. 그러나 bandwidth 를 줄이는 것의 문제는, sample size 가 너무 작아진다는 것이다. 

 

•  selection bias 가 있다는 것을 인정하고, running variable 에 따라 어느정도 변할지 충분히 예측 가능하다면 parametric (linear, 2차식..) 분석을 진행한다. Global 하게 분석한다고 하면 거의 parametric 방법을 사용해야 한다. Global experiment (가령 음주 예시에서 0세~100세 를 범위로 한다고 하면, 21세 이전의 평균 사고 횟수와 21세 이후 사람들의 평균사고 횟수를 비교하는 것은 make sense 하지 않다) 

 

•  selection bias 와 sample size 간의 trade-off 가 존재하기 때문에 이를 고려해 적절한 방법을 선택해야 한다. 

 

 

↪  위에서 local nonparametric (빨간 직선 범위) 로 본다면, discontinuity 가 없다고 가정했을 때 직선이 계속 일정한 상수값을 가질 수 있을 것이라 예측할 수 있으므로 검정색 굵은 직선들 간의 차이가 causal effect 가 될 수 있고, Global nonparamtric (범위 전체) 로 본다면, 역시 discontinuity 가 없다고 가정했을 때 직선이 계속 일정한 상수값을 가질 수 있을 것이라 예측할 수 있으므로 검정색 실선 들 간의 차이가 causal effect 가 된다. 그러나 이러한 경우에는 차이가 커지기 때문에 sensitive 할 수 있다. 

 

 

↪  selection bias 를 어떠한 function 으로 보정해주는 parametric 한 방법으로, 위의 예시처럼 local 한 구간에서 linear function 으로 모델링 하면, 만약 discontinuity 가 없었을 때에 cutoff 를 기준으로 왼쪽 실선이 계속 직선으로 이어질 수 있고, 이를 discontinuity 가 있었을 때와의 차이를 계산한 것이 causal effect 가 될 수 있다. Global parametric 도 마찬가지! 

 

⇨ Local/Global, Prametric/Non-parametric 방법에 따라 regression discontinuity 결과는 많이 달라질 수 있다. 

 

 

[참고]

 

 

 

 

 

◯  RD 와 DID

 

•  Discontinuity 가 있다고 해서 무조건 regression discontinuity 로 분석해야 하는 것은 아니다. 

 

 

•  Discontinuity 가 적용된 특정 treatment shock 이 있어서, treament 가 특정 시점에 있어서 treament 전후의 데이터가 관찰 가능하다면 DID 를 적용하는 것이 더 적절하다. 

 

•  우리나라 게임 셧다운제 적용 (16세 미만) : 16세를 기준으로 3년씩 살펴봐서 13세~15세를 게임 셧다운제에 영향을 받는 treatment group, 그 이후 16세~19세를 control group 으로 나눠볼 수 있다. 

•  RD sample 을 구성하고 DID 로 분석 

 

•  만약 RD 와 DID 를 모두 사용 가능한 조건이라면, 어떠한 방법론이 가정을 입증하기 더 쉬운지를 판단해서 고르면 된다. 그러나 이러한 측면에서 DID 가 더 좋다. DID 의 parallel assumption 이 causal experiment 중에 가장 입증하기 쉬운 검정이기 때문이다. 시각화 혹은 통계적 기법 (relative time model 등) 으로 검증가능하다. 

 

 

 

 

 

2.  Identification assumption for RD 

---

 

◯  가정 

 

 

•  discontinuity 전후로 특성이 비슷해야 extrapolate 할 수 있다. 

 

•  Non-parametric 에서의 가정 : cutoff 를 전후로 treatment group 과 control group 이 얼마나 treatment 를 제외하고 비교 가능한지 (Ceteris paribus) 따져보기. 이러한 가정을 만족시키기 위해 bandwidth 를 줄이기도 한다. 

 

•  Parametric 에서의 가정 : Ceteris paribus 를 충족시키는 것을 바라는 건 아니다. 차이가 있을 수 있다는 것을 인정한다. 그러나 discontinuity 전후의 차이가 running variable 에 대한 function 으로 전부다 설명할 수 있어야 한다. function 을 어떤걸 선택하느냐에 따라 casual effect 크기가 달라질 수 있기 때문에 sensitive 하다. 또한 어떤 것이 true model 인지 알기도 쉽지 않다. 따라서 웬만하면 RD와 DID 둘다 적용 가능한 상황이라면 DID 를 적용하는게 좋다. 

 

 

 

 

◯  Parametric assumption 에서 true functional model 을 찾는 방법 : sensitivity test

 

 

•  가능한 대부분의 functional form 에 대해 test 를 해서, 가장 robust 한 결과를 선택 

•  r_i : running variable, Y_i : outcome

 

 

• 동일한 데이터에 따라서 r,y 를 어떻게 모델링을 하냐에 따라 결과가 달라진다. bandwidth 를 어떻게 쓰느냐도 영향을 미친다. 너무 오버피팅 되게 고차원의 모델에 대해서 test 를 하진 않는다. 

 

 

 

 

 

 

3. Example of regression discontinuity 

---

 

◯  노동조합이 제품 하자율에 미치는 인과적인 효과 

 

① strategy 1 : Global/Local parametric, Binary 

 

 

•  노동조합 결성에 대한 투표 결과에 의한 노동 조합의 기업 참여율인 (0~100%) UnionWin_i,t 를 running variable 로 활용하고 있다. 50% 를 기준으로 discontinuity 가 발생한다. 

 

•  Industry dummy, year dummy 와 같은 control variable 을 위해 Parametric 방법을 사용한다. 

 

•  모든 경우를 (0~100%) 다 분석하는 것이 Global 이고, 반면 (42.5%, 57.5%) 와 같이 bandwidth 를 좁혀서 분석하는 것이 Local 이다. 어떤 bandwidth 가 가장 적절한지 여러 구간을 가지고 모델링을 해보는 것이 일반적이다. 

 

•  Imbens and Kalyanaraman 논문 → optimal 한 bandwidth 를 찾을 수 있는 방법을 제안 

 

 

 

② strategy 2 : Global parametric, Linear & Quadratic 

 

 

•  단순히 binary 로 discontinuity 를 나누기에는 특성이 다를 수 있다. 노동 조합 결성에 투표했는데 10% 만 찬성한 기업과 90%만 찬성한 기업은 특성이 다를 수 있다. 단순히 binary 로 평균을 비교하는 것이 아니고, functional form 으로 modeling 을 하고 있다. 

 

•  P(pv, c) : running variable 과 outcome 간의 관계를 polynomial 로 모델링 한 결과 

↪ Linear fit example (왼쪽) : γ∙P∙V 

↪ Quadratic fit example (오른쪽) : γ1∙P∙V + γ1∙P∙V^2

 

 

 

 

 

4. Imperfect compliance : Fuzzy RD 

---

 

◯  Fuzzy RD 

 

 

•  투표율이 50% 가 넘으면 무조건 노동조합이 결성된다. binary = 1 ⇨ sharp RD 

•  그러나 현실에서는 위의 예시처럼 깔끔하게 나뉘어지는 RD 가 거의 없다. 

•  Fuzzy RD : discontinuity 에 의해 treatment 와 control 이 딱 나눠지는 것이 아니고, treatment 가 될 확률이 변하는 경우를 말한다. 현실에서는 Fuzzy RD 인 경우가 많다. (ex. 게임 셧다운제가 16세 미만의 아이들에게 적용되는 건 사실이지만 이 treatment 가 모든 아이들에게 동일한 가중치로 적용되는 것은 아닐 수 있다. 어떤 아이들은 새벽까지 게임을 안하는 아이들이 있을 수 있고, 어떤 아이들은 편법을 써서 게임을 하는 아이들이 있을 수 있다) 

 

 

◯  Fuzzy RD 는 LATE 분석이다. 

 

① EX.1 

 

 

•  running variable 에서의 cutoff 를 도구변수로 보고 LATE 를 수행하는 것이다. 

•  First stage : discontinuity 를 활용해서 treatment 를 받을 확률을 예측 

•  Second stage : 예측값을 활용해서 second stage 에서는 global/local , parametric/non-parametric 분석을 진행하는 것이다. 

•  가령 게임 셧다운제 예시처럼, 16세 이하의 모든 사람들에 대해 적용되는 것을 분석하고자 하는 것이 아니라, LATE 분석이기 때문에, 즉 compliers 에 대한 분석이기 때문에 게임셧다운제가 실행되어서 게임을 덜 하게 되는 경우에 대한 인과추론을 해석해볼 수 있다.

•  Sharp RD 는 100% compliers 에 대한 분석이다. 

 

② EX2. 

 

③ EX3.

 

 

 

 

👀 RD 는 도구변수 분석과 함께 간다.