계량경제학 스터디 Lecture 4. Causality

 

 

👀 계량경제학 개인 공부용 포스트 글입니다. 

 

 

 

 

 

1.  Causality in Practice 

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①  Motivation 

 

•  세상은 연관관계로 구성되어 있다. 사람들은 종종 상관관계를 인과관계로 착각하곤 한다. 

•  연구자들은 인과관계를 정의하는데 관심이 있다. 

 

 

②  What do we mean by causality? 

 

 

•  선형회귀 모델에서, 만약 E[u | x1,x2,...,xk] = E[u] 가정 (Conditional mean independence : u의 평균은 x에 독립적이다) 을 만족한다면, β1은 y에 대한 x1의 인과효과로 볼 수 있다. (※ 한치록 계량경제학 설명 참고하기 : 고정된 설명변수) 

 

•  CMI 는 u 와 x가 uncorrelated 되어있다는 것을 의미한다. 

↪ 쉽게 설명하면, X와 Y가 명확한 인과적 관계를 가지려면, 이를 제외한 변수들 (u) 을 통제해야 (즉, u는 x와 연관이 없어야) 한다는 의미 

 

 

 

③  Tree Thresta to Causal inference 

 

 

◯  CMI 조건을 위배하고 내생성을 발생시키는 주요 요인들 

 

•  Omitted variable bias 

•  Measurement error bias 

•  Simultaneity bias 

 

내생성 의미 참고

 

※ 이전에 정리해둔 것 

 

 

•  regressor 가 error term 과 관련이 있으면, 해당 regressor 를 endogenous 하다고 말한다. 

 

 

 

 

 

2.  Omitted variable bias : 누락된 변수로 인해, Cov(x,u) 가 0이 되지 않으며 내생성이 발생한다. 

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◯  Definition 

 

•  연구자들이 가장 많이 우려하는 부분 중 하나이다. 

•  Basic idea : y에 영향을 미치고, x와 상관관계가 있는 변수 z 를 포함하고 있는 estimation error u 

 

•  예를들어 아래와 같은 모델이 있다고 가정해보자. 이때 CMI 는 true model 에 대해서만 적용된다. 

 

 

 

•  x에 대해 추정된 계수 β1_hat 은 다음과 같다. 

 

 

↪  cov(x,z) = 0 이거나, β2=0 로 z가 y에 영향이 없을 때에만 추정된 계수가 unbiased 하다. 

↪  bias 의 크기와 방향은 β2와 cov(x,z)/var(x) 에 의해 정해진다. z가 y에 positive effect (β2 > 0) 을 미치고, x와 z는 양의 상관관계를 (cov(x,z) > 0) 가진다면, bias 는 양의 부호를 가진다. 

 

 

◯  Example 

 

◯  OVB formula

 

•  Omitted variable 이 여러개라면 bias 부분은 복잡하게 계산된다. 

 

 

•  이러한 Omitted variable bias 를 제거하기 위해선, omitted variable 의 유형이 Observable 한지 Unobservable 한지에 따라 달라진다. 

 

 

 

◯  Observable omitted variable 

 

⑴ Functional Form Misspecification: observable omitted variable 의 special case

 

 

•  그러나 squared term x2^2 을 omitted 할 가능성이 높다. 

•  이런 경우에는 squared term 이나 cubed term 을 추가해보면서, 계수값에 변화가 있는지 살펴볼 수 있다. 

 

 

⑵ Davidson-MacKinnon Test 

 

 

•  모델이 중첩되어 있지 않다면, 가설검정을 진행하는 방식을 채택해볼 수 있다. 

 

 

 

◯  Unobservable omitted variable 

 

 

•  ability 를 측정 및 관측할 수 없는 경우 → ability 와 상관관계가 있는, 근접할 수 있는 다른 변수 (ex. IQ) 를 찾는다 : Proxy variable 

 

 

◯ Proxy variable 

 

x3* 대신 관측가능한 x3 로 x3* 를 대체한다.

 

↪  x3* = δ0 + δ1•x3 + v 

 

 

↪  proxy 를 포함시킨 후에는 다른 변수가 unobservable variable 을 설명하지 않는다. 즉, E(v | x1,x2,x3) = 0 이다. E[x3* | x1,x2,x3] = E[x3* | x3] 라면, 즉 x3에 대해 통제했을 때, x1 혹은 x2에 의존하지 않는다면 x3 는 x3* 에 대한 좋은 proxy 라 할 수 있다. 

 

 

대체한 수식

 

 

 

◯  Summary 

 

•  OVB 는 인과관계를 성립하지 못하게 한다. 

•  생략된 관찰가능한 변수는 회귀분석에서 통제되어야 한다. 다른 수식을 반드시 검정해야한다. 만약 관찰되지 않은 변수의 계수가 우리가 관심 있는 것이 아니라면, proxy 를 사용해 다른 매개 변수에서 OVB를 제거할 수 있습니다. Proxy 는 관찰 불가능한 변수의 계수의 부포를 결정하는데 사용될 수 있다. 

 

 

 

 

3.  Measurement error bias 

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①  Measurement error bias 

 

 

•  변수의 측정을 부정확하게 할 때, 측정오차가 발생한다. 가령 항상소득과 저축 사이의 인과관계를 보고자 할 때, permanent income 은 관측이 불가능하여, 최근 10년간의 평균 소득으로 이를 대체하게 되면 이로인한 bias  가 발생하게 된다.

•  EX. avg. tax rate is noisy measure of marg. tax rate 

 

•  Proxy 와 개념이 비슷해보일 수 있는데, Proxy 는 완전히 관측 불가능한/측정 불가능한 변수를 대체하기 위해 사용되는 것이고, 측정 오류는 관찰하지 않은 변수가 잘 정의되어 있고 정량화할 수 있지만 측정값에 오차가 있는 경우를 말한다. 

 

 

 

 

②  Measurement error of Dependent variable 

 

◯  estimation

 

•  bias 에 있어 y에 measurement error 가 존재하는 것은 문제가 되지 않는다. 다만 standard error 가 커질 수 있다. 

 

 

•  y* 를 y의 대체값이라 했을 때, error e 는 y-y* 와 같다. 그러나 우리는 y를 관찰해야 하므로 위와 같이 식을 추정해볼 수 있다. 

•  E(e|x) = 0 이라면 OLS 추정치는 consistent 하고 unbiased 하다. 문제가 되는 부분은 standard error 가 커진다는 것 뿐이다. Var(u+e) > Var(u) 

 

 

 

 

③  Measurement error of Independent variable 

 

 

•  2가지 가정 

⑴ Measurement error, e, is uncorrelated with the observed measure,x 

⑵ Measurement error, e, is uncorrelated with the unobserved measure x*

 

↪ ⑴ 가정에서 x* 를 x-e 로 대체하면, bias 는 없다. 대신 standard error 가 증가한다. 

 

↪ 그러나 ⑵ 가정에서 e 가 x* 와 uncorrelated 하다고 하면, 이는 e가 x와는 correlated 함을 의미하기 때문에 biased 된 estimate 를 얻는다. 해당 문제를 Classical Error-in-variables라고 한다. 

 

 

 

 

4.  Simultaneity bias 

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•  y 변수의 변화에 x가 영향을 받을 때 발생하는 문제이다. 

 

• Simultaneity bias 가 발생하는 이유 

 

x가 u 와 상관관계가 있다

 

5.  Bad Controls 

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•  Simultaneity bias 와 같이 bad control 은 bias 를 가져온다. 

•  Bad control revives the selection bias again

 

 

 

 

 

◯ Summary