계량경제학 강의_한치록_단순회귀 7장

 

👀 계량경제학 개인 공부용 포스트 글입니다. 

 

 

 

7. 표본 크기가 클 때 

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•  표본의 크기가 크면, 정보의 양이 많으므로 OLS 추정량의 정확도가 매우 높다. 이는 consistency 라는 개념으로 정리된다. 수많은 확률변수들이 합산되기 때문에 오차항의 분포가 정규분포인지 상관없이 OLS 추정량의 분포가 정규분포에 가까워진다. 

 

 

① 일관성의 의미 

 

•  일관성을 위해 비편향 추정량일 필요는 없으며, 편향되어 있을지라도 평균이 n→∞ 이면서 참값으로 수렴하면 된다. 어떤 추정량이 참값에 대해 일관적이지 않으면, 표본크기가 아무리 커도 그로부터 구한 추정량이 참값과 가까우리라는 보장이 없다. 

 

 

 

②  최소제곱 추정량의 일관성

 

•  OLS 추정량은 여전히 확률변수이다. 표본의 크기가 크던 작던, 비특이성, 설명변수값 고정, 오차평균0의 가정이 만족될 때 OLS 추정량은 여전히 그 모수와 평균적으로 동일하고, 동일분산과 독립추출 가정을 추가하면 기울기 추정량의 분산은 여전히 σ^2 / Σ (xi - x_mean)^2 이다. 이때 n 이 극단적으로 커지면, 분모도 양수들을 더한 것이기 때문에 n 이 증가함에 따라 커져서 OLS 추정량의 분산은 0에 매우 가까워진다. 그러면 추정량이 참값으로부터 일정 거리를 벗어날 확률이 점점 0으로 줄어들게 된다. 

 

 

 

③ 최소제곱 추정량이 일관성을 가질 조건 

 

•  OLS 추정량의 일관성은 항상 성립하는 것은 아니다. 분산의 분모가 n 이 커지면서 무한히 증가한다고 가정하면 일관성을 갖게 된다. 

•  오차항이 정규분포를 갖는다는 가정이 맞지 않게 되면 어떻게 될까 → OLS 추정량이 정규분포를 갖지 않는다 → t통계량은 t분포를 갖지 않는다 → t 통계량을 이용한 가설검정은 타당하지 않게된다

•  그렇다면 계량경제 분석을 할 때마다 확인해야 하는가 → No. 중심극한정리로 해결가능!

 

 

 

④ 중심극한정리 

 

•  CLT : 모집단의 분포가 무엇이든지 간에 무작위로 뽑은 많은 숫자의 "표본평균" 을 구하면, 표본평균의 표집분포가 정규분포에 가까워진다. 

•  모집단의 분포가 유한하기만 하면 성립하는 정리로, (X1,X2...,Xn) 이 동일한 모집단에서 독립적으로 추출한 표본이고, 모집단의 분산이 유한하다면, 표본평균의 표집분포는 n이 커지면서 정규분포를 따른다. 

 

• 큰 수의 법칙과 중심극한 정리 

↪ 표본의 크기가 커지면 표본평균이 모집단의 평균으로부터 크게 벗어날 확률 (표본추출 반복시행 시) 은 줄어들고 (큰 수의 법칙), 표본평균의 표집분포는 원래 모집단의 분포와 상관없이 정규분포에 점점 접근한다 (중심극한정리)

 

•  👀 표본의 크기가 크면 오차항이 정규분포를 갖는다는 가정을 할 필요도 없고 걱정할 필요도 없다.